📚 지식 노트

측정, 단위, 차원 분석, 벡터

물리학의 모든 주장은 결국 "얼마나"로 끝난다. 그래서 먼저 단위를 정한다. 국제단위계(SI)는 일곱 개의 기본 단위(초, 미터, 킬로그램, 암페어, 켈빈, 몰, 칸델라)를 두고, 힘의 뉴턴(kg·m/s²)이나 에너지의 줄(kg·m²/s²) 같은 나머지는 이들을 곱하고 나눠 만든다. 2019년 5월 20일부터는 일곱 단위를 모두 정의 상수의 값을 못 박는 방식으로 정한다. 예를 들어 빛의 속도를 정확히 299,792,458m/s로 정해 두면, 1미터는 빛이 1/299,792,458초 동안 가는 거리가 된다. 1889년부터 써 온 백금·이리듐 원기 대신 플랑크 상수로 킬로그램을 정한 것이 이 개정의 핵심이다.

차원 분석은 식의 양변 단위가 맞는지 보는 검사이자, 답의 꼴을 미리 짐작하는 도구다. 진자의 주기가 줄 길이 L(m)과 중력 가속도 g(m/s²)에만 달려 있다면, 둘을 조합해 초를 만드는 방법은 √(L/g) 꼴뿐이다. 실제 식 2π√(L/g)와 숫자 배수만 다르다. 코드에서도 단위를 섞어 쓰는 실수(밀리초와 초, 도와 라디안)가 흔하므로, 변수 이름에 단위를 붙이는 습관이 같은 역할을 한다. 측정값의 불확도와 유효 숫자는 과학적 방법 노트에서 다룬다.

크기만 있는 양을 스칼라(질량, 온도, 에너지), 크기와 방향이 함께 있는 양을 벡터(변위, 속도, 힘)라 한다. 벡터는 성분별로 더하고, 두 벡터의 내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 놓였는지(일 W = F·d), 외적은 두 벡터가 이루는 면에 수직인 벡터(토크 τ = r × F)를 준다. 계산 방법은 선형대수 노트와 게임 개발 수학 노트에 있다.

운동학: 위치, 속도, 가속도

운동학은 원인을 묻지 않고 움직임을 기술한다. 위치 x를 시간으로 미분한 것이 속도 v, 속도를 다시 미분한 것이 가속도 a다. 거꾸로 가속도를 시간에 대해 적분하면 속도가, 속도를 적분하면 위치가 나온다. 가속도가 일정하면 적분이 쉬워서 v = v₀ + at, x = x₀ + v₀t + ½at², v² = v₀² + 2a(x − x₀) 세 식으로 거의 모든 문제가 풀린다. 미분과 적분의 뜻은 미적분 노트에 있다.

던진 공처럼 2차원에서 움직이면 수평과 수직을 따로 푼다. 공기 저항이 없으면 수평 방향에는 힘이 없어 속도가 일정하고, 수직 방향만 g로 가속된다. 두 운동을 합치면 궤적이 포물선이 된다. 평지에서 같은 속력으로 던질 때 도달 거리는 v²sin(2θ)/g라, 45°에서 가장 멀리 가고 합이 90°인 두 각도(15°와 75°)는 같은 곳에 떨어진다.

운동은 기준 틀에 따라 다르게 보인다. 달리는 기차 안에서 똑바로 위로 던진 공은 기차 안에서는 수직으로 오르내리지만 밖에서는 포물선이다. 서로 일정한 속도로 움직이는 관성 기준 틀에서는 같은 물리 법칙이 성립한다는 생각이 뒤에서 상대성 이론의 출발점이 된다.

뉴턴의 운동 법칙과 마찰

아이작 뉴턴은 1687년 『프린키피아』에서 운동의 원인을 세 법칙으로 정리했다.

• 제1법칙(관성): 알짜 힘이 0이면 물체는 정지해 있거나 같은 속도로 직선 운동을 계속한다. 이 법칙이 성립하는 기준 틀을 관성 기준 틀이라 한다.
• 제2법칙(F = ma): 알짜 힘은 질량과 가속도의 곱이다. 더 정확히는 운동량의 시간 변화율 F = dp/dt다. 같은 힘이면 질량이 클수록 덜 가속된다.
• 제3법칙(작용·반작용): A가 B를 미는 힘과 B가 A를 미는 힘은 크기가 같고 방향이 반대다. 두 힘은 서로 다른 물체에 작용하므로 상쇄되지 않는다.

문제를 풀 때는 물체 하나를 떼어 내 그 물체에 작용하는 힘만 화살표로 그린 자유 물체도를 먼저 그린다. 빗면 위 물체라면 중력을 빗면 방향과 빗면에 수직인 방향으로 나누면 계산이 쉬워진다.

마찰은 맞닿은 면이 미끄러짐을 막는 힘이다. 멈춰 있는 물체에는 정지 마찰이 밀리는 힘만큼만 생기고 최대 μsN까지 버틴다. 일단 미끄러지면 운동 마찰 μkN이 작용하는데, 대개 μk가 μs보다 작아서 무거운 가구는 처음 움직이기가 가장 힘들다. 두 식은 근본 법칙이 아니라 실험에서 얻은 근사다. 마찰 계수는 재료와 표면 상태에 따라 크게 달라 표의 값은 대략의 범위로만 본다.

일, 에너지, 운동량

힘이 물체를 힘의 방향으로 옮기면 일(W = F·d, 단위 줄)을 한다. 알짜 힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 ½mv²의 변화와 같다(일·에너지 정리). 중력이나 용수철 힘처럼 경로와 상관없이 처음과 끝 위치만으로 일이 정해지는 보존력에는 위치 에너지를 붙일 수 있고, 마찰이 없으면 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 역학적 에너지가 보존된다. 마찰이 있으면 역학적 에너지 일부가 열로 바뀔 뿐 전체 에너지는 여전히 보존된다. 일을 얼마나 빨리 하는지가 일률(와트 = J/s)이다.

운동량 p = mv는 물체가 가진 "운동의 양"이다. 외부에서 알짜 힘이 작용하지 않으면 계 전체의 운동량은 보존된다. 짧은 시간 큰 힘이 작용하면 충격량 FΔt만큼 운동량이 바뀐다. 에어백이나 무릎을 굽히며 착지하는 동작은 같은 운동량 변화를 긴 시간에 나눠 힘을 줄인다.

충돌에서 운동량은 언제나 보존되지만 운동 에너지는 그렇지 않다. 튕겨 나가며 운동 에너지까지 보존되면 탄성 충돌, 일부가 열·소리·변형으로 가면 비탄성 충돌, 둘이 붙어 함께 움직이면 완전 비탄성 충돌이다. 튕기는 정도를 반발 계수 e(0~1)로 나타낸다. 게임 엔진의 충돌 응답이 바로 이 계산이며, 구현은 게임 물리학 노트에 있다.

보존 법칙은 우연이 아니다. 1918년 에미 뇌터는 물리 법칙이 시간에 따라 바뀌지 않으면 에너지가, 장소에 따라 바뀌지 않으면 운동량이, 방향에 따라 바뀌지 않으면 각운동량이 보존된다는 것을 증명했다(뇌터 정리). 대칭과 보존이 한 쌍이라는 이 생각은 현대 물리 전체를 관통한다.

회전, 토크, 각운동량

회전은 직선 운동과 짝을 이룬다. 위치 대신 각도 θ, 속도 대신 각속도 ω, 질량 대신 관성 모멘트 I, 힘 대신 토크 τ를 쓰면 식의 모양이 그대로다(F = ma ↔ τ = Iα, ½mv² ↔ ½Iω², p = mv ↔ L = Iω). 토크는 회전축에서 힘이 작용하는 점까지의 거리와 힘의 외적 r × F라, 문고리를 경첩에서 먼 곳에 다는 이유가 여기 있다. 관성 모멘트는 질량이 축에서 얼마나 멀리 퍼져 있는지(Σmr²)에 따라 커진다.

빗면을 굴러 내려오는 물체는 위치 에너지를 직선 운동과 회전에 나눠 쓴다. 질량이 가장자리에 몰린 고리는 회전에 많은 몫을 떼어 줘서, 같은 높이에서 출발해도 속이 찬 공보다 늦게 도착한다. 놀랍게도 결과에 질량과 반지름은 들어가지 않고 모양(k = I/mr²)만 남는다.

외부 토크가 없으면 각운동량 L = Iω가 보존된다. 피겨 선수가 팔을 오므리면 I가 줄어 ω가 커지고, 팽이와 자이로스코프는 축 방향을 유지하려 한다. 행성이 태양 둘레를 돌 때 가까울수록 빨라지는 것도 같은 원리다. 3D 회전을 코드로 다루는 쿼터니언과 관성 텐서는 게임 물리학 노트에서 이어진다.

만유인력과 궤도

뉴턴은 사과를 떨어뜨리는 힘과 달을 붙잡아 두는 힘이 같은 것이라 보았다. 질량 m₁, m₂가 거리 r만큼 떨어져 있으면 서로 F = Gm₁m₂/r²으로 끌어당긴다(만유인력 법칙). G는 1798년 캐번디시의 비틀림 저울 실험 이후 측정해 왔지만 아직 기본 상수 가운데 가장 덜 정밀하게 알려져 있다(상대 불확도 약 2×10⁻⁵). 지구의 GM은 위성 궤도로 훨씬 정밀하게 재며, 이 값으로 계산한 지표 중력 가속도는 약 9.82m/s²다. 실제 g가 위도에 따라 다른 것은 자전과 지구가 납작한 탓이다.

요하네스 케플러는 티코 브라헤의 관측 자료에서 행성 운동의 세 법칙을 찾았다(1·2법칙 1609년, 3법칙 1619년). 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 돌고(1법칙), 태양과 행성을 잇는 선은 같은 시간에 같은 넓이를 쓸며(2법칙, 각운동량 보존), 공전 주기의 제곱은 긴반지름의 세제곱에 비례한다(3법칙). 태양계에서 a를 천문단위, T를 년으로 쓰면 T² = a³이라 목성(약 5.2AU)의 주기는 약 11.9년이다. 뉴턴은 이 세 법칙을 만유인력 하나로 유도해 보였다.

궤도는 "옆으로 너무 빨라 땅에 닿지 못하고 계속 떨어지는 것"이다. 원 궤도 속력은 √(GM/r)이라, 고도 400km에서는 초속 약 7.67km로 약 92.4분에 한 바퀴 돈다. 지표에서 중력을 벗어나려면 그 √2배 남짓인 탈출 속력 약 11.2km/s가 필요하다(공기 저항 무시). 시뮬레이션에서 궤도를 오래 안정되게 돌리려면 적분법 선택이 중요한데, 이 이야기는 계산 과학 노트와 게임 물리학 노트에 있다.

진동과 파동

단진동, 감쇠, 공명

평형에서 벗어난 만큼 되돌리는 힘(F = −kx, 훅의 법칙)을 받으면 물체는 사인 곡선을 그리며 단진동한다. 용수철 진자의 주기는 2π√(m/k), 작은 진폭의 단진자는 2π√(L/g)로 진폭과 상관없다. 길이 1m 진자의 주기는 약 2.01초다. 매끄러운 곡선의 바닥 근처는 거의 포물선이라, 평형 근처의 작은 흔들림은 대부분 단진동으로 근사된다. 그래서 단진동은 분자 진동부터 건물 흔들림까지 물리 곳곳에 나온다.

실제 진동은 마찰 때문에 줄어든다(감쇠). 감쇠비 ζ가 1보다 작으면 흔들리며 줄고, 1이면 넘치지 않고 가장 빨리 평형으로 돌아오며(임계 감쇠), 1보다 크면 느릿느릿 돌아온다. 자동차 서스펜션과 문 닫힘 장치는 임계 감쇠 근처로 맞춘다. 주기적으로 밀어 주는 힘의 진동수가 고유 진동수와 맞으면 진폭이 크게 솟는 공명이 일어난다. 감쇠가 작을수록 봉우리가 높고 좁다.

파동: 간섭, 회절, 정상파

파동은 매질이 제자리에서 진동하며 에너지와 모양만 전달하는 현상이다. 진동 방향이 진행 방향과 수직이면 횡파(줄의 파동, 빛), 나란하면 종파(소리)다. 파동의 속력은 파장 × 진동수(v = fλ)다. 두 파동이 만나면 변위가 더해지는 중첩이 일어나, 마루끼리 만나면 커지고(보강 간섭) 마루와 골이 만나면 상쇄된다(상쇄 간섭). 1800년대 초 토머스 영의 이중 슬릿 실험은 빛이 만드는 밝고 어두운 무늬로 빛이 파동임을 보였다. 파동이 장애물 가장자리나 좁은 틈을 지나며 퍼지는 회절은 틈이 파장과 비슷할 때 두드러진다. 담 너머 소리는 들리는데 빛은 안 보이는 것은 소리의 파장(수십cm~수m)이 빛(수백nm)보다 훨씬 길기 때문이다.

양끝이 묶인 줄에서 오가는 파동이 겹치면 제자리에서 진동만 하는 정상파가 된다. 줄 길이가 반파장의 정수배일 때만 생기므로 진동수가 fₙ = n·v/(2L)로 띄엄띄엄 정해진다. 악기의 음높이와 배음, 전자레인지 안의 뜨거운 점, 뒤에 나올 원자의 에너지 준위가 모두 "경계 조건이 허락하는 파동만 남는다"는 같은 이야기다.

도플러 효과

음원이 다가오면 앞쪽 파면이 촘촘해져 높게, 멀어지면 낮게 들린다(도플러 효과). 소리처럼 매질이 있는 파동에서는 f′ = f(v + v관찰자)/(v − v음원)이다. 빛에도 같은 현상이 있어, 멀어지는 은하의 빛은 파장이 길어지는 적색 이동을 보이고, 속도 측정용 레이더와 의료용 도플러 초음파도 이 원리를 쓴다. 소리의 물리(데시벨, 공명관, 실내 음향)는 음향학 노트에서 자세히 다룬다.

유체: 압력, 부력, 베르누이

압력은 면에 수직으로 작용하는 힘을 넓이로 나눈 것이다(단위 파스칼 = N/m²). 정지한 유체 속 압력은 모든 방향으로 같고 깊이에 비례해 커진다(p = p₀ + ρgh). 물속 10m마다 약 98kPa, 곧 대기압(101.325kPa) 하나만큼 늘어난다. 닫힌 유체에 가한 압력이 어디에나 그대로 전달된다는 파스칼 원리 덕분에 유압 잭은 작은 피스톤의 작은 힘을 큰 피스톤의 큰 힘으로 바꾼다.

물에 잠긴 물체는 위아래 압력 차 때문에 밀어낸 유체의 무게만큼 위로 떠받쳐진다(아르키메데스 원리, 부력). 강철 배가 뜨는 것은 속이 빈 선체가 자기 무게만큼의 물을 밀어낼 수 있을 만큼 부피가 크기 때문이다.

흐르는 유체에서는 관이 좁아지면 같은 양이 지나가야 하므로 빨라진다(연속 방정식 A₁v₁ = A₂v₂). 점성이 없고 압축되지 않는 유체의 흐름선을 따라서는 압력, 운동 에너지, 위치 에너지의 합(p + ½ρv² + ρgh)이 일정하다는 것이 베르누이 방정식이다. 에너지 보존을 유체에 쓴 것이라, 빨라진 곳은 압력이 낮다.

실제 유체에는 점성이 있고, 빠르거나 큰 흐름은 소용돌이치는 난류가 된다. 흐름이 매끄러운지 난류인지는 관성과 점성의 비인 레이놀즈 수로 가늠한다. 유체와 천, 연체를 화면에서 흉내 내는 방법은 유체·천·연체 시뮬레이션 노트에 있다.

열과 열역학 법칙

온도는 입자들의 무질서한 운동이 얼마나 활발한지 나타내고, 열은 온도 차 때문에 옮겨 가는 에너지다. 이상 기체에서는 pV = nRT가 성립하며, 기체 입자 하나의 평균 병진 운동 에너지가 (3/2)kT라는 것이 기체 분자 운동론의 결론이다. 여기서 볼츠만 상수 k는 2019년부터 정확히 1.380649×10⁻²³J/K로 정해져 켈빈을 정의한다. 열은 전도, 대류, 복사로 옮겨 간다.

• 제0법칙: A와 B, B와 C가 각각 열평형이면 A와 C도 열평형이다. 온도계가 의미를 갖는 근거다.
• 제1법칙: 내부 에너지의 변화 = 받은 열 − 한 일(ΔU = Q − W). 에너지 보존을 열까지 넓힌 것으로, 에너지를 공짜로 만드는 제1종 영구 기관은 불가능하다.
• 제2법칙: 고립계의 엔트로피는 줄지 않는다. 열은 저절로 차가운 곳에서 뜨거운 곳으로 가지 않고, 열을 전부 일로 바꾸는 기관도 없다.
• 제3법칙: 온도가 절대 영도에 다가가면 엔트로피가 최솟값에 다가가며, 유한한 단계로 절대 영도(0K = −273.15°C)에 이를 수 없다.

엔트로피는 루돌프 클라우지우스가 1865년에 이름 붙였고, 루트비히 볼츠만이 S = k ln W(W는 같은 거시 상태를 만드는 미시 상태의 수)로 통계적 뜻을 주었다. 엔트로피가 늘어나는 것은 무질서한 배치가 질서 있는 배치보다 압도적으로 많아서다. 섞인 커피와 우유가 저절로 갈라지지 않는 이유, 시간에 방향이 있는 것처럼 보이는 이유가 여기 있다. 정보 이론의 엔트로피도 같은 꼴의 식이다.

1824년 사디 카르노는 두 온도 사이에서 일하는 열기관의 효율에 넘을 수 없는 상한이 있음을 보였다. 고온 T_h와 저온 T_c(켈빈) 사이의 최대 효율은 1 − T_c/T_h다. 발전소가 연료 에너지의 상당 부분을 냉각탑으로 버리는 것은 설계가 나빠서가 아니라 제2법칙 때문이다.

전기와 자기

전하는 양(+)과 음(−) 두 종류이고, 같은 종류끼리 밀고 다른 종류끼리 당긴다. 크기는 F = q₁q₂/(4πε₀r²)로 거리의 제곱에 반비례한다(쿨롱 법칙, 1785년). 전하의 최소 단위는 기본 전하 e = 1.602176634×10⁻¹⁹C(정의값)이고, 1C 두 개를 1m 떨어뜨리면 8.99×10⁹N이라는 엄청난 힘이 든다. 전기력은 같은 거리의 두 전자 사이 중력보다 약 10⁴²배 세다. 일상의 물체가 거의 중성인 이유다.

전하가 주변 공간에 만드는 전기장 E는 그 자리에 놓인 단위 전하가 받는 힘이다. 전기력선으로 그리면 방향과 세기가 한눈에 보인다. 전기장을 거리로 적분한 것이 전위차(전압, 볼트)다.

전하가 흐르면 전류(암페어 = C/s)다. 도선 속 전류는 전압에 비례하고(V = IR, 옴의 법칙, 저항기 같은 선형 소자에서 성립), 저항에서 쓰이는 전력은 P = VI다. 회로의 갈림길에서 들어온 전류와 나간 전류가 같고(키르히호프 전류 법칙), 닫힌 고리를 한 바퀴 돌면 전압 합이 0이다(전압 법칙). 저항과 축전기를 이은 RC 회로는 시간 상수 τ = RC로 충전되어 τ마다 남은 차이의 약 63%를 채운다. 실제 회로와 부품은 전자 회로 기초 노트, 반도체의 물리는 반도체 노트에 있다.

1820년 외르스테드는 전류가 나침반 바늘을 돌린다는 것을 보았다. 움직이는 전하는 자기장을 만들고, 자기장 속에서 움직이는 전하는 속도와 자기장 모두에 수직인 힘(로런츠 힘 F = qv × B)을 받는다. 전동기가 도는 원리다. 거꾸로 1831년 패러데이는 코일을 지나는 자기 선속이 변할 때 전압이 생긴다는 전자기 유도를 발견했다. 발전기, 변압기, 무선 충전, 인덕션 레인지가 모두 이 원리다. 유도 전류는 원인이 된 변화를 방해하는 방향으로 흐른다(렌츠 법칙).

제임스 클러크 맥스웰은 1865년 전기와 자기의 법칙을 한 묶음의 방정식으로 정리했다. 오늘날 쓰는 네 식은 ① 전하가 전기장을 만든다(가우스 법칙), ② 자기 홀극은 없다, ③ 변하는 자기장이 전기장을 만든다(패러데이 법칙), ④ 전류와 변하는 전기장이 자기장을 만든다(앙페르·맥스웰 법칙)이다. 이 식들에서 전기장과 자기장이 서로를 만들며 퍼져 나가는 파동이 나오고, 그 속력 1/√(μ₀ε₀)가 빛의 속도와 같았다. 빛이 전자기파라는 결론이다. 1880년대 후반 하인리히 헤르츠가 전파를 만들어 이를 확인했다.

빛과 광학

빛은 매끈한 면에서 들어온 각과 같은 각으로 반사하고, 다른 매질로 들어가면 속력이 바뀌며 꺾인다(굴절). 매질의 굴절률 n은 진공 속 광속 ÷ 매질 속 광속이고, 경계에서 n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂(스넬 법칙)가 성립한다. 굴절률이 큰 쪽에서 작은 쪽으로 갈 때 입사각이 임계각을 넘으면 빛이 전부 되돌아오는 전반사가 일어난다. 물→공기는 약 48.6°, 유리(n ≈ 1.5)→공기는 약 41.8°다. 광섬유가 빛을 가두는 방식이다. 굴절률이 파장마다 조금씩 달라(분산) 프리즘과 무지개가 색을 나눈다.

볼록 렌즈는 축에 나란한 빛을 한 점(초점)에 모은다. 초점 거리 f, 물체 거리 a, 상 거리 b 사이에는 1/f = 1/a + 1/b가 성립하고(얇은 렌즈 공식), 배율은 −b/a다. 물체가 초점 바깥에 있으면 거꾸로 선 실상이, 안쪽에 있으면 바로 선 확대 허상(돋보기)이 생긴다. 눈, 카메라, 현미경, 망원경이 모두 렌즈 조합이다. 카메라 쪽 이야기는 카메라 노트에 있다.

가시광선은 거대한 전자기 스펙트럼의 좁은 한 조각이다. 모두 같은 전자기파이고 파장만 다르며, 진공에서 속력은 모두 c다. 광자 하나의 에너지는 E = hc/λ라 파장이 짧을수록 크다. 빨간빛(700nm) 광자는 1.77eV, 보라빛(400nm)은 3.10eV다. 자외선부터 위쪽은 광자 하나가 화학 결합을 끊을 만큼 에너지가 커서 피부와 DNA를 상하게 할 수 있다. 대역 경계는 분야마다 관례가 조금씩 다르다.

상대성 이론

1887년 마이컬슨과 몰리의 실험은 빛의 속도가 지구의 운동 방향과 상관없이 같다는 결과를 냈다. 1905년 알베르트 아인슈타인은 두 가정에서 출발했다. 모든 관성 기준 틀에서 물리 법칙이 같고, 진공 속 광속은 광원이나 관찰자의 운동과 상관없이 c다. 이 두 가정을 지키려면 시간과 공간이 관찰자에 따라 달라져야 한다는 것이 특수 상대성 이론이다.

• 시간 지연: 움직이는 시계는 γ배 느리게 간다. 우주선이 대기 상층에서 만드는 뮤온은 수명이 짧지만 빠르게 움직여 시간이 늘어난 덕에 지표까지 많이 도달한다.
• 길이 수축: 움직이는 방향의 길이는 γ배 짧아 보인다.
• 동시성의 상대성: 한 관찰자에게 동시인 두 사건이 다른 관찰자에게는 동시가 아닐 수 있다.
• 질량-에너지 등가: E = mc². 질량 1g이 모두 에너지로 바뀌면 8.99×10¹³J이다. 원자로와 태양이 내는 에너지는 반응 전후의 질량 차에서 온다.

1915년 발표한 일반 상대성 이론은 중력을 힘이 아니라 질량과 에너지가 휘게 만든 시공간의 기하로 설명한다. 자유 낙하하는 사람이 무게를 못 느끼는 것처럼, 가속과 중력은 국소적으로 구별할 수 없다(등가 원리). 수성 근일점이 뉴턴 이론보다 100년에 약 43″ 더 도는 현상을 설명했고, 1919년 일식 때 태양 근처 별빛이 휘는 것이 관측되었으며, 2015년 9월 LIGO가 블랙홀 쌍성 합체의 중력파를 처음 직접 검출했다.

상대성 효과는 일상 기술에도 들어 있다. GPS 위성은 초속 약 3.87km로 움직여 시계가 하루 약 7.2µs 느려지고(특수 상대성), 지표보다 중력이 약한 고도 약 20,200km에 있어 하루 약 45.7µs 빨라진다(일반 상대성). 합하면 하루 약 38.5µs 빨라지는데(원 궤도 근사 계산값), 빛이 이 시간 동안 가는 거리는 약 12km라 보정하지 않으면 위치 오차가 하루에 수 km씩 쌓인다. 그래서 위성 시계는 발사 전에 주파수를 미리 낮춰 둔다(Ashby, Relativity in the Global Positioning System). 위성 측위 자체는 위치 노트에 있다.

양자 역학

1900년 막스 플랑크는 뜨거운 물체가 내는 빛의 스펙트럼을 설명하려고, 에너지가 hf 단위로만 주고받아진다고 가정했다. 1905년 아인슈타인은 이를 빛 자체에 적용했다. 금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나오는 광전 효과에서, 튀어나오는 전자의 에너지는 빛의 세기가 아니라 진동수에 달려 있고, 문턱 진동수 아래로는 아무리 밝아도 전자가 나오지 않는다. 빛이 에너지 hf짜리 알갱이(광자)로 온다고 보면 바로 설명된다. 아인슈타인은 이 업적으로 1921년 노벨 물리학상을 받았다.

원자는 특정한 파장의 빛만 내고 흡수한다. 1913년 닐스 보어는 수소 속 전자가 정해진 에너지 준위(Eₙ ≈ −13.6eV/n²)에만 있을 수 있고 준위 사이를 뛸 때 그 차이만큼의 광자를 낸다고 설명했다. 1924년 루이 드브로이는 전자 같은 입자도 파장 λ = h/p를 가진 파동이라 제안했고, 그렇다면 원자의 준위는 앞에서 본 정상파처럼 "핵 둘레에 맞아떨어지는 파동만 허락된" 결과가 된다. 100V로 가속한 전자의 파장은 약 0.123nm로 결정 원자 간격 정도라 회절을 보이지만, 시속 144km 야구공의 파장은 1.1×10⁻³⁴m로 너무 짧아 파동성이 드러나지 않는다.

1926년 에르빈 슈뢰딩거는 입자의 상태를 파동함수 ψ로 기술하는 방정식을 내놓았다. 막스 보른의 해석에 따르면 |ψ|²은 그 자리에서 입자를 발견할 확률 밀도다. 측정 전의 상태는 여러 결과의 중첩일 수 있고, 측정하면 그중 하나가 확률적으로 나온다. 1927년 베르너 하이젠베르크는 위치와 운동량을 동시에 정확히 알 수 없다는 불확정성 원리(Δx·Δp ≥ ħ/2)를 내놓았다. 이는 측정 기술의 한계가 아니라 파동의 성질이다. 짧게 모인 파동일수록 여러 파장이 섞여 있어야 하는 것과 같다(신호 처리 노트의 시간·주파수 관계와 같은 수학이다).

양자 역학은 반도체, 레이저, LED, MRI, 원자시계의 바탕이고, 중첩과 얽힘을 계산에 쓰려는 것이 양자 컴퓨팅이다. 원자의 전자 배치와 화학 결합은 화학 노트, 고체의 성질은 재료과학 노트로 이어진다.

원자핵과 입자 물리

1911년 어니스트 러더퍼드는 금박에 알파 입자를 쏘는 실험 결과로 원자의 질량 대부분이 아주 작은 원자핵에 모여 있음을 밝혔다. 원자핵은 양성자와 중성자(1932년 채드윅 발견)로 되어 있고, 양성자끼리의 전기 반발을 이기며 이들을 묶는 것이 짧은 거리에서만 작용하는 강한 핵력이다. 핵을 이루는 핵자들의 질량 합은 낱낱의 질량 합보다 작고, 그 차이(질량 결손)에 c²을 곱한 것이 결합 에너지다. 핵자 하나당 결합 에너지는 철과 니켈 부근에서 약 8.8MeV로 가장 커서, 무거운 핵은 쪼개질 때(핵분열, 1938년 발견), 가벼운 핵은 합쳐질 때(핵융합, 태양의 에너지원) 에너지가 나온다.

불안정한 핵은 스스로 다른 핵으로 바뀌며 알파선(헬륨 핵), 베타선(전자나 양전자), 감마선(고에너지 광자)을 낸다(방사성 붕괴). 핵 하나가 언제 붕괴할지는 알 수 없지만 많은 핵이 모이면 일정한 시간마다 절반씩 줄어든다. 이 시간이 반감기다.

더 들어가면 양성자와 중성자도 쿼크로 되어 있다. 현재의 표준 모형은 물질을 이루는 페르미온(쿼크 6종, 전자·뮤온·타우와 세 종류 중성미자의 렙톤 6종)과 힘을 전하는 보손(전자기력의 광자, 강한 힘의 글루온, 약한 힘의 W·Z 보손), 그리고 입자에 질량을 주는 힉스 보손으로 이루어진다. 힉스 보손은 2012년 CERN의 대형 강입자 충돌기(LHC)에서 발견되었다. 표준 모형은 지금까지 거의 모든 입자 실험과 맞지만 중력, 암흑 물질, 중성미자 질량의 기원을 설명하지 못해 그 너머를 찾는 연구가 이어진다. 방사성 연대 측정이 지질 시대를 재는 방법은 지구과학 노트에 있다.

흔한 오해

날개의 양력은 NASA 글렌 연구소의 Bernoulli and Newton 설명을 참고했다.

핵심 자료

여기서 다룬 원리를 게임과 시뮬레이션에 옮기는 방법(적분법, 충돌 판정과 응답, 강체 솔버)은 게임 물리학 노트와 게임 개발 › 물리·판정에, 소리의 물리는 음향학 노트에 있다. 아래 자료는 모두 무료로 읽을 수 있다.