📚 지식 노트

점·선·각

유클리드의 『원론』은 점(위치만 있고 크기가 없는 것), 선(폭이 없는 길이), 면을 정의하고, 증명 없이 받아들이는 다섯 개의 공준에서 모든 정리를 끌어낸다. 그 다섯째가 "직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 하나뿐"이라는 꼴로 흔히 쓰는 평행선 공준이다. 이것을 바꾸면 구면 위의 기하나 쌍곡 기하처럼 삼각형 내각의 합이 180°가 아닌 다른 기하가 생긴다.

두 반직선이 한 점에서 만나 이루는 벌어짐이 각이다. 90°보다 작으면 예각, 90°가 직각, 90°와 180° 사이가 둔각, 180°가 평각이다. 두 직선이 엇갈리면 마주 보는 맞꼭지각은 서로 같다(둘 다 같은 각의 180° 보각이므로). 평행한 두 직선을 다른 직선이 자르면 같은 자리의 동위각과 엇갈린 자리의 엇각이 같고, 같은 쪽 안쪽 두 각의 합은 180°다. 이 성질 하나로 삼각형 내각의 합 180°가 나오고, 대각선으로 삼각형 n − 2개로 나눌 수 있는 n각형의 내각 합은 (n − 2) × 180°, 육각형이면 720°다.

삼각형과 합동·닮음

삼각형 꼭짓점 하나를 지나 밑변에 평행한 직선을 그으면, 밑변 양 끝의 두 각이 엇각으로 꼭짓점 옆에 옮겨 와 세 각이 한 직선(180°)을 이룬다. 그래서 어느 삼각형이든 내각의 합은 180°다.

모양과 크기가 같아 포갤 수 있는 두 도형은 합동이다. 삼각형은 여섯 요소를 다 비교하지 않아도 세 변(SSS), 두 변과 끼인각(SAS), 한 변과 양 끝 각(ASA)이 같으면 합동이다. 두 변과 끼이지 않은 각만 같으면 삼각형이 둘 나올 수 있어 합동 조건이 아니다.

모양은 같고 크기만 다르면 닮음이다. 삼각형은 두 각이 같으면(AA) 닮음이고, 닮은 도형은 대응하는 길이의 비가 모두 같다. 이 비를 이용하면 직접 잴 수 없는 길이를 구한다. 길이 1.5m 막대의 그림자가 2m일 때 나무 그림자가 12m라면, 햇빛이 같은 각도로 들어 두 삼각형이 닮음이라 나무 높이는 1.5 : 2 = h : 12에서 9m다. 탈레스가 피라미드 높이를 이렇게 쟀다고 전해진다.

닮음비가 k면 넓이는 k², 부피는 k³배다. 지도의 축척을 2배로 키우면 종이 넓이는 4배, 모형을 2배로 키우면 재료는 8배가 든다. 동물이 커질수록 다리가 굵어지는 이유도 같다. 무게(부피)는 k³으로 늘지만 다리 단면적은 k²으로만 늘어난다.

넓이와 부피, 그리고 원주율

넓이는 단위 정사각형 몇 개가 들어가는지다. 직사각형은 가로 × 세로, 평행사변형은 한쪽 끝을 잘라 반대편에 붙이면 직사각형이 되어 밑변 × 높이, 삼각형은 같은 것 두 개로 평행사변형을 만들 수 있어 ½ × 밑변 × 높이다. 사다리꼴은 거꾸로 하나를 붙여 평행사변형을 만들면 ½ × (윗변 + 아랫변) × 높이다.

원은 둘레와 지름의 비가 어떤 원에서나 같은 상수 π이므로 둘레가 2πr이다. 원을 피자 조각처럼 잘게 잘라 엇갈려 늘어놓으면 높이 r, 가로 πr(둘레의 절반)인 직사각형에 가까워져 넓이가 πr²이다. π의 값은 어떻게 알까. 아르키메데스는 원 안팎에 정다각형을 대고 둘레를 계산해, 원의 둘레를 위아래에서 가뒀다.

정96각형까지 가면 3.141 < π < 3.1427다. 변 수를 두 배로 할 때마다 폭이 약 4분의 1로 줄어든다. 오늘날에는 수렴이 훨씬 빠른 급수로 π를 수조 자리까지 계산한다.

입체의 부피는 단면이 같은 꼴로 쌓인다고 보면 된다. 기둥은 밑넓이 × 높이, 같은 밑면과 높이의 뿔은 그 ⅓이다. 반지름 r인 구의 부피는 ⁴⁄₃πr³, 겉넓이는 4πr²이다. 아르키메데스가 가장 자랑스러워했다는 결과가 있다. 반지름 3, 높이 6인 원기둥에 꼭 맞는 구와 원뿔의 부피는 원기둥 169.65, 구 113.1, 원뿔 56.55로 정확히 3 : 2 : 1이다. 구의 겉넓이 113.1도 원기둥 옆넓이 2πr × 2r과 같다.

피타고라스 정리

직각삼각형의 두 짧은 변을 a, b, 빗변을 c라 하면 a² + b² = c²이다. 증명은 수백 가지가 있는데, 가장 눈에 잘 들어오는 것은 재배치 증명이다. 한 변이 a + b인 정사각형 안에 같은 직각삼각형 네 개를 두 가지로 놓는다. 한 번은 가운데 c × c 정사각형이 남고, 다른 한 번은 a × a와 b × b 정사각형이 남는다. 큰 정사각형과 삼각형 넷이 같으니 남는 넓이도 같다.

거꾸로 세 변이 a² + b² = c²을 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이다. 옛 측량꾼은 매듭 12개 간격의 줄로 3 : 4 : 5 삼각형을 만들어 직각을 잡았다는 이야기가 있다. 이런 자연수 세 쌍을 피타고라스 세 수라 하고, m > n인 자연수로 (m² − n², 2mn, m² + n²)을 만들면 늘 성립한다. m = 3, n = 2면 (5, 12, 13)이다. 이 정리는 평면 위 두 점의 거리, 3차원 대각선 길이 √(x² + y² + z²), 화면 대각선 인치 계산까지 "거리"가 나오는 모든 곳의 출발점이다.

원과 원주각

원 위의 두 점 A, B 사이 호를 원 위의 다른 점 P에서 바라본 각 ∠APB가 원주각, 중심 O에서 본 각 ∠AOB가 중심각이다. 같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이다. P와 O를 잇는 지름을 그으면 이등변삼각형 두 개가 생기고, 각각의 바깥각이 밑각의 두 배라는 사실에서 나온다. 그래서 같은 호를 보는 원주각은 P가 원 위 어디에 있든(같은 쪽 호 위라면) 모두 같다.

• 탈레스 정리: 지름을 보는 원주각은 180°의 절반, 곧 90°다. 반원 위의 어느 점에서 지름 양 끝을 이어도 직각삼각형이 된다.
• 원에 내접하는 사각형: 마주 보는 두 각이 같은 원 전체(360°)를 나눠 보므로 합이 180°다.
• 접선: 원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다.

좌표 기하

데카르트는 도형을 좌표로 옮겨 기하 문제를 대수 계산으로 바꿨다. 점 A(1, 1)과 B(5, 4)로 몇 가지를 계산해 보자.

• 거리: 가로 차 4, 세로 차 3인 직각삼각형의 빗변이라 √(4² + 3²) = 5.
• 중점: 좌표의 평균 (3, 2.5).
• 기울기: 세로 변화 ÷ 가로 변화 = 3/4 = 0.75. 기울기가 같으면 평행, 곱이 −1이면 수직이다.
• 직선의 방정식: 기울기와 한 점으로 y = 0.75x + 0.25. 일반형 ax + by + c = 0으로 쓰면 3x − 4y + 1 = 0이고, 원점에서 이 직선까지의 거리는 |c| / √(a² + b²) = 0.2이다.
• 원의 방정식: 중심 (p, q)에서 거리 r인 점의 모임이라 (x − p)² + (y − q)² = r². AB를 지름으로 하면 중심이 중점, 반지름이 2.5이다.

변환: 옮기고, 돌리고, 뒤집고, 키우기

도형의 모든 점에 같은 규칙을 적용하는 것이 변환이다. 좌표로 쓰면 규칙이 짧다.

• 평행이동 (a, b): (x, y) → (x + a, y + b)
• 회전(원점 중심 θ): (x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). 90°면 (−y, x). cos·sin은 바로 다음 삼각비와 단위원 절에서 정의한다.
• 대칭: y축에 대해 (−x, y), x축에 대해 (x, −y), 직선 y = x에 대해 (y, x).
• 확대(원점 기준 k배): (kx, ky). 넓이는 k²배가 된다.

앞의 셋은 모든 거리를 그대로 지켜 도형을 합동으로 옮기는 합동 변환이다. 대칭은 도형의 감는 방향(시계·반시계)을 뒤집고, 평행이동과 회전은 지킨다. 서로 만나는 두 직선에 대해 차례로 대칭하면 회전이 되고, 평행한 두 직선에 대해 대칭하면 평행이동이 된다. 확대까지 넣으면 닮음 변환이다. 변환을 여러 번 하면 순서가 결과를 바꾸는데, 이것을 행렬 곱으로 다루는 방법은 게임 개발 수학과 선형대수 노트에 있다.

삼각비와 단위원

직각삼각형에서 한 예각 θ가 정해지면 닮음 때문에 변의 비가 크기와 상관없이 정해진다. 이 비에 이름을 붙인 것이 삼각비다. sin θ = 높이/빗변, cos θ = 밑변/빗변, tan θ = 높이/밑변. 길이 10m, 기울기 30°인 경사로는 높이 10 × sin 30° = 5m, 수평 거리 10 × cos 30° = 8.66m다.

정삼각형을 반으로 자른 30°–60°–90° 삼각형(변의 비 1 : √3 : 2)과 직각이등변삼각형(1 : 1 : √2)에서 나오는 값은 자주 쓰이니 외워 두면 편하다.

직각삼각형으로는 90°가 넘는 각을 다룰 수 없다. 그래서 반지름 1인 단위원 위에서 x축 양의 방향부터 반시계로 θ만큼 돈 점의 좌표를 (cos θ, sin θ)로 정의한다. 예각에서는 삼각비와 같고, 둔각·음수 각·한 바퀴 넘는 각에도 값이 생긴다. 150°의 점은 (−0.866, 0.5)이라 cos이 음수다.

각을 재는 자연스러운 단위는 라디안이다. 반지름 1인 원에서 각이 잘라 내는 호의 길이를 그대로 각으로 쓴다. 한 바퀴가 2π라 180° = π, 1라디안 = 57.3°이고, 150°는 5π/6 = 2.618다. 라디안을 쓰면 반지름 r인 원의 호 길이가 rθ로 간단해지고, 미분에서 (sin x)′ = cos x가 성립한다. 프로그래밍 언어의 삼각함수는 거의 모두 라디안을 받는다.

점이 단위원을 한 바퀴 도는 동안 높이를 시간축에 펼치면 사인 곡선, 가로 위치를 펼치면 코사인 곡선이다. 둘은 주기 2π로 되풀이되고, cos x = sin(x + π/2)라 모양이 같은데 π/2만큼 어긋나 있다. tan θ = sin θ / cos θ는 반지름 선의 기울기라 90°에서 정의되지 않는다. 각도와 방향 벡터를 오가는 일, 특히 tan의 역함수가 사분면을 잃는 문제를 atan2로 피하는 방법은 게임 개발 수학의 삼각함수와 atan2 절에 있다.

표기에 함정이 하나 있다. sin²θ는 (sin θ)²인데 sin⁻¹ x는 1/sin x가 아니라 사인의 역함수 arcsin x다. 1/sin x는 따로 코시컨트 csc x라 부른다. 헷갈림을 줄이려고 국제 표준 ISO 80000-2는 2019년부터 arcsin·arccos·arctan처럼 arc를 붙인 이름만 쓴다. 역함수가 되려면 일대일이어야 하므로 arcsin은 −90°~90°, arccos은 0°~180° 안의 값만 돌려준다. sin 150° = 1/2인데 arcsin(1/2)이 30°만 내놓는 이유이고, 벡터에서 방향 각도를 되찾을 때 atan2가 필요한 이유도 같다(Wikipedia의 Inverse trigonometric functions).

사인·코사인 법칙

직각이 아닌 삼각형에도 변과 각의 관계가 있다. 꼭짓점 A, B, C의 맞은편 변을 a, b, c라 하자.

• 코사인 법칙: a² = b² + c² − 2bc cos A. A = 90°면 cos A = 0이라 피타고라스 정리가 되므로, 피타고라스를 모든 삼각형으로 넓힌 식이다. 두 변과 끼인각, 또는 세 변을 알 때 쓴다.
• 사인 법칙: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R(R은 외접원 반지름). 한 변과 두 각을 알 때 쓴다.
• 넓이: ½bc sin A. 세 변만 알면 s = (a + b + c)/2로 √(s(s − a)(s − b)(s − c))라는 헤론의 공식을 쓴다.

b = 5, c = 8, 끼인각 A = 60°이면 a² = 25 + 64 − 40 = 49이라 a = 7이다. 나머지 각은 B = 38.2°, C = 81.8°로 합이 180°이고, 외접원 반지름은 4.04, 넓이는 ½ × 5 × 8 × sin 60° = 17.32다. 헤론의 공식으로도 s = 10에서 같은 값이 나온다. 측량에서 밑선 하나와 양 끝에서 본 각도만으로 먼 지점까지의 거리를 구하는 삼각측량이 이 법칙들을 쓴다.

삼각함수 항등식과 덧셈 정리

단위원 위의 점 (cos θ, sin θ)는 원점에서 거리가 1이므로 피타고라스 정리로 sin²θ + cos²θ = 1이다. 양변을 cos²θ로 나누면 1 + tan²θ = 1/cos²θ가 된다. 이렇게 모든 각에서 성립하는 등식을 항등식이라 하며, 복잡한 식을 간단히 바꾸는 데 쓴다.

덧셈 정리는 두 각의 합의 삼각함수를 각각의 값으로 나타낸다.

• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

이 식은 회전 그 자체다. 단위원 위 α의 점 (cos α, sin α)을 원점 둘레로 β만큼 더 돌리면 α + β의 점이 되는데, 점 (x, y)를 β 돌리는 식 (x cos β − y sin β, x sin β + y cos β)에 넣으면 덧셈 정리가 그대로 나온다. 예로 cos 75° = cos(30° + 45°) = (√6 − √2)/4 = 0.2588, sin 75° = 0.9659다. β = α로 두면 배각 공식 sin 2θ = 2 sin θ cos θ, cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2 sin²θ가 바로 나온다. 이 회전 식을 행렬로 쓴 것이 게임과 그래픽스의 회전 행렬이다(게임 개발 수학의 행렬과 변환).

벡터 기하 입문: 내적으로 각도 재기

벡터는 크기와 방향을 가진 화살표이고, 좌표로는 (x, y)처럼 성분으로 쓴다. 더하기는 화살표를 이어 붙이는 것, 길이는 피타고라스로 |v| = √(x² + y²)이다.

두 벡터의 내적은 a · b = aₓbₓ + a_yb_y로 계산하고, 기하학적으로는 |a||b| cos θ와 같다. 두 정의가 같다는 것은 a, b, a − b로 만든 삼각형에 코사인 법칙을 쓰면 나온다. 그래서 성분 계산만으로 사이 각을 알 수 있다. a = (3, 1), b = (1, 2)이면 a · b = 5, |a| = 3.162, |b| = 2.236이라 cos θ = 0.707, θ = 45°다.

• 내적이 0이면 수직, 양수면 예각, 음수면 둔각이다.
• b를 a 방향으로 내린 정사영은 (a · b / |a|²) a = (1.5, 0.5)이다. 힘이 이동 방향으로 하는 일, 빛이 표면을 비추는 밝기가 이 성분이다.

게임에서 적이 앞에 있는지 판정하거나 벽을 따라 미끄러지게 하는 데 내적을 쓰고(게임 개발 수학의 내적의 쓰임), 머신러닝에서는 두 문장의 의미가 얼마나 비슷한지를 임베딩 벡터의 코사인으로 잰다(AI를 위한 수학의 벡터와 내적). 3차원 이상의 벡터와 행렬은 선형대수에서 이어진다.

원뿔 곡선: 타원, 포물선, 쌍곡선

원뿔을 평면으로 자르면 자르는 기울기에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나온다. 그래서 이 넷을 원뿔 곡선이라 한다. 평면 위에서는 초점까지의 거리로 정의한다.

• 타원: 두 초점까지 거리의 합이 일정한 점의 모임. x²/a² + y²/b² = 1(a > b)이면 초점은 (±c, 0), c² = a² − b²이다. a = 5, b = 3면 c = 4이고 거리의 합은 2a = 10다. 찌그러진 정도인 이심률 e = c/a = 0.8이고, e = 0이면 원이다. 행성은 태양을 한 초점에 둔 타원 궤도를 돈다(케플러 제1법칙).
• 포물선: 한 점(초점)과 한 직선(준선)까지의 거리가 같은 점의 모임. y = x²/4p는 초점 (0, p), 준선 y = −p다. 축과 나란히 들어온 빛이 모두 초점으로 반사되어 위성 안테나와 전조등 반사경에 쓴다. 공기 저항이 없을 때 던진 물체의 궤적도 포물선이다.
• 쌍곡선: 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점의 모임. x²/a² − y²/b² = 1이면 c² = a² + b²이다. a = 3, b = 4면 c = 5, 거리의 차는 2a = 6, 멀리 가면 점근선 y = ±1.33x에 붙는다. 두 송신소에서 온 신호의 도착 시간 차가 같은 점들이 쌍곡선을 이뤄, 시간 차로 위치를 찾는 항법에 쓰였다.

핵심 자료

수 체계·방정식·함수·로그는 수와 대수, 이 내용이 실제로 쓰이는 모습은 게임 개발 수학과 AI를 위한 수학에 있다.