📚 지식 노트

수 체계: 풀 수 없는 방정식이 수를 넓혔다

수의 종류는 "지금 가진 수로는 풀 수 없는 방정식"이 나올 때마다 하나씩 늘었다. 각 단계는 앞 단계를 그대로 품는다.

• 자연수 ℕ = {1, 2, 3, …}: 개수를 센다. 더하기와 곱하기는 늘 자연수로 끝나지만, x + 5 = 3은 풀 수 없다.
• 정수 ℤ: 0과 음수를 더해 뺄셈이 언제나 된다. 그래도 2x = 1은 풀 수 없다.
• 유리수 ℚ: 정수의 비 p/q(q ≠ 0)로, 0이 아닌 수로 나누기가 언제나 된다. 소수로 쓰면 끝나거나 같은 마디가 되풀이된다(1/3 = 0.333…).
• 실수 ℝ: 수직선의 빈틈을 모두 메운 수다. x² = 2의 해 √2는 유리수가 아니다. √2 = p/q(기약분수)라 하면 p² = 2q²라 p가 짝수, 그러면 q도 짝수가 되어 기약분수라는 가정과 어긋난다. 이런 무리수(√2, π, e)가 수직선 위에 빽빽하게 있다.
• 복소수 ℂ: x² = −1조차 풀려고 i² = −1인 i를 들인다. a + bi는 수직선이 아니라 평면(복소평면)의 점이다.

복소수의 곱은 평면에서의 회전과 확대다. z = 3 + 2i에 i를 곱하면 −2 + 3i로 원점을 중심으로 90° 돌고, 크기 |z| = √(3² + 2²) = 3.606은 그대로다. i를 두 번 곱하면 180° 돌아 i² = −1이 된다. 이 성질 덕분에 소리·전기 신호처럼 회전하고 진동하는 것을 복소수로 다룬다(신호 처리 노트의 푸리에 변환).

소수와 소인수분해, 최대공약수

소수는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 1보다 큰 자연수다. 30 이하에는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29의 10개가 있다. 2부터 시작해 남은 수의 배수를 차례로 지워 나가면 소수만 남는데, 이것이 에라토스테네스의 체다. √n까지만 지워도 충분하다. n이 합성수면 √n 이하의 약수를 반드시 하나 갖기 때문이다.

산술의 기본 정리에 따르면 1보다 큰 자연수는 소수의 곱으로, 곱하는 순서를 빼면 단 한 가지로 나타난다. 360 = 2³ × 3² × 5다. 약수는 각 소수를 0번부터 지수만큼 고르는 경우라 개수가 (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24개다. 두 수를 소인수분해하면 공통 소수를 작은 지수로 모은 것이 최대공약수(gcd), 모든 소수를 큰 지수로 모은 것이 최소공배수(lcm)이고, 늘 gcd × lcm = 두 수의 곱이다.

큰 수는 소인수분해가 매우 어렵다. 그런데 최대공약수는 분해하지 않고도 빨리 구할 수 있다. 유클리드 호제법은 a = qb + r이면 a와 b의 공약수와 b와 r의 공약수가 똑같다는 사실 하나로, 나머지가 0이 될 때까지 (a, b)를 (b, r)로 바꾼다. 두 걸음마다 큰 수가 절반 아래로 줄어들어, 걸음 수는 자릿수에 비례할 뿐이다.

gcd(252, 105) = 21, lcm = 1260이다. gcd가 1인 두 수를 서로소라 한다. 소수가 무한히 많다는 것도 오래된 증명이 있다. 소수가 유한하다면 모두 곱해 1을 더한 수는 어느 소수로도 나누어떨어지지 않으니 모순이다. 소수, 나머지 연산(모듈러), 호제법을 거꾸로 돌려 역원을 구하는 확장 유클리드 알고리즘은 RSA 같은 공개키 암호의 바탕이다(암호학 노트).

분수, 비율, 백분율

분수 a/b는 "전체를 b등분한 것 a개"다. 분모가 다른 분수를 더하려면 같은 크기의 조각으로 맞춰야 하므로, 분모의 최소공배수로 통분한다. 3/4 + 2/3은 12등분으로 맞춰 9/12 + 8/12 = 17/12다. 곱셈은 조각의 조각이라 분자끼리·분모끼리 곱하고, 나눗셈은 "몇 번 들어가나"라서 뒤집어 곱한다.

비 a : b는 두 양의 상대적 크기다. 100을 2 : 3으로 나누면 전체를 5몫으로 보고 40과 60이 된다. 백분율은 분모를 100으로 맞춘 비율이다. 백분율에는 두 가지 함정이 있다.

• 기준이 바뀐다: 100을 20% 올리면 120, 거기서 20% 내리면 120의 20%인 24가 빠져 96이 된다. 백분율 변화는 더하는 것이 아니라 1.2 × 0.8처럼 곱하는 것이다. 50% 떨어진 주가가 본전이 되려면 100% 올라야 하는 것도 같은 이유다.
• 퍼센트와 퍼센트포인트: 금리가 10%에서 12%로 오르면 2%p(퍼센트포인트) 올랐고, 비율로는 20% 올랐다. 기사에서 "2% 올랐다"고 하면 어느 쪽인지 따져야 한다.

다항식과 인수분해

다항식은 x의 거듭제곱에 계수를 곱해 더한 식(3x² − 2x + 5 등)이고, 가장 높은 지수가 차수다. 괄호를 풀어 늘어놓는 것이 전개, 거꾸로 곱의 꼴로 묶는 것이 인수분해다. 전개는 분배 법칙을 되풀이할 뿐이고, 직사각형 넓이로 보면 한눈에 들어온다.

• (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²: 51 × 49 = 50² − 1² = 2499처럼 암산에도 쓴다.
• x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q): 곱이 상수항, 합이 일차항 계수인 두 수를 찾는다.
• 흔한 실수: (a + b)²을 a² + b²으로 쓰는 것이다. 가운데 2ab가 빠졌다. 3 + 4 = 7이라 7² = 49인데 3² + 4² = 25다. 거듭제곱은 덧셈 위로 나눠지지 않는다(영어로는 이 실수를 "신입생의 꿈"이라 부른다). (a + b)ⁿ의 정확한 전개는 파스칼 삼각형의 계수를 쓰는 이항 정리다(확률과 통계 노트).

차수가 높으면 나머지 정리가 실마리다. 다항식 P(x)를 (x − a)로 나눈 나머지는 P(a)다. 그래서 P(a) = 0이면 (x − a)가 인수다(인수 정리). x³ − 6x² + 11x − 6에 x = 1을 넣으면 0이므로 (x − 1)이 인수이고, 계수만 적어 나누는 조립제법으로 몫 x² − 5x + 6을 얻어 끝까지 풀면 (x − 1)(x − 2)(x − 3)이다. 정수 계수 다항식이 정수 근을 가진다면 그 근은 상수항의 약수 가운데 있으므로, ±1, ±2, ±3, ±6만 넣어 보면 된다.

일차·이차 방정식

방정식을 푸는 원리는 "양변에 같은 일을 하면 등식이 유지된다" 하나다. 3x + 5 = 20은 양변에서 5를 빼고 3으로 나눠 x = 5이다. 일차방정식 ax + b = 0은 a ≠ 0이면 해가 늘 하나다.

이차방정식 ax² + bx + c = 0은 인수분해가 되면 곱이 0인 두 인수 가운데 하나가 0이라는 사실로 푼다. 안 되면 완전제곱식으로 바꾼다. 양변을 a로 나누고 (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²로 정리해 제곱근을 씌우면 근의 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a가 나온다.

제곱근 안의 판별식 D = b² − 4ac가 근의 개수를 정한다. D > 0이면 서로 다른 실근 둘, D = 0이면 중근 하나, D < 0이면 실근이 없고 복소수 근 두 개(켤레)다. 그래프로 보면 포물선 y = ax² + bx + c가 x축과 몇 번 만나는지다. 꼭짓점은 x = −b/2a에 있어서, x² − 2x − 3은 꼭짓점 (1, −4)에서 아래로 처진 만큼 x축을 두 번(−1, 3) 지난다. 두 근의 합은 −b/a = 2, 곱은 c/a = −3이다(근과 계수의 관계).

컴퓨터로 근의 공식을 쓸 때는 b가 4ac보다 훨씬 크면 −b + √D에서 거의 같은 두 수를 빼 유효숫자가 사라진다. 그때는 한 근을 구한 뒤 곱 c/a로 다른 근을 구한다. 게임의 광선–원 충돌 판정이 바로 이 이차방정식이다(게임 개발 수학의 충돌 판정).

연립방정식: 두 직선의 교점

미지수가 둘이면 식도 둘이 필요하다. x + y = 10과 2x − y = 2를 더하면 y가 사라져 3x = 12, x = 4이고, 대입하면 y = 6이다(소거법). 한 식을 x = …로 정리해 다른 식에 넣는 대입법도 같은 결과를 낸다. 각 식은 평면 위의 직선이므로, 해는 두 직선의 교점 (4, 6)이다.

• 해가 하나: 기울기가 다른 두 직선은 한 점에서 만난다.
• 해가 없음: x + y = 10과 x + y = 4처럼 기울기가 같고 절편이 다르면 평행해 만나지 않는다.
• 해가 무수히 많음: 2x + 2y = 20처럼 사실상 같은 식이면 두 직선이 겹친다.

계수만 모으면 a₁b₂ − a₂b₁이라는 값 하나로 세 경우를 가른다. 이 값이 행렬식이다. 위 예는 1 × (−1) − 2 × 1 = -3으로 0이 아니라 해가 하나다. 0이면 두 직선의 기울기가 같다는 뜻이다. 미지수가 수천 개인 연립방정식을 행렬로 푸는 방법은 선형대수 노트로 이어진다.

부등식

부등식도 양변에 같은 수를 더하고 빼거나 양수를 곱해도 그대로다. 단 하나의 예외가 있다. 음수를 곱하거나 나누면 방향이 뒤집힌다. −2x + 4 > 10은 −2x > 6이고, −2로 나누면 x < −3이다. 2 < 3에 −1을 곱하면 −2 > −3인 것을 떠올리면 된다.

• 절댓값: |x − 3| ≤ 2는 "3에서 거리 2 이내"라 1 ≤ x ≤ 5다. |x − a| > r이면 반대로 바깥 두 구간이다.
• 이차부등식: x² − x − 6 < 0은 (x + 2)(x − 3) < 0이라 두 인수의 부호가 달라야 한다. 그래프로는 포물선이 x축 아래에 있는 구간 −2 < x < 3이다.
• 산술–기하 평균 부등식: 양수 a, b에 대해 (a + b)/2 ≥ √(ab)이고, a = b일 때만 같다. (√a − √b)² ≥ 0을 풀어 쓰면 나온다. 둘레가 같은 직사각형 가운데 정사각형의 넓이가 가장 큰 이유다.

함수와 그래프

함수 f: X → Y는 X의 각 원소에 Y의 원소를 정확히 하나 짝짓는 규칙이다. 넣을 수 있는 값의 모임이 정의역, 실제로 나오는 값의 모임이 치역이다. 그래프는 점 (x, f(x))를 모두 찍은 것이라, 세로선을 그었을 때 두 번 이상 만나면 함수가 아니다(원은 함수의 그래프가 아니다).

• 일차 함수 y = ax + b: 직선. x가 1 늘 때마다 y가 a만큼 더해진다.
• 이차 함수 y = ax² + bx + c: 포물선. 꼭짓점에서 최댓값이나 최솟값을 가져 최적화 문제의 기본형이다.
• 지수 함수 y = aˣ: x가 1 늘 때마다 y가 a배로 곱해진다. 처음엔 느리지만 곧 어떤 다항식보다 빨리 커진다.
• 로그 함수 y = log_a x: 지수 함수의 역. x > 0에서만 정의되고, 아주 천천히 커진다. 지수 법칙과 로그 자체는 다음 지수 법칙과 로그 절에서 자세히 본다.

함수를 이어 붙이는 것이 합성이다. (f ∘ g)(x) = f(g(x))는 g를 먼저, 그다음 f를 적용한다. f(x) = 2x + 1, g(x) = x²이면 f(g(3)) = 19이지만 g(f(3)) = 49로, 순서가 바뀌면 결과가 다르다. 미분의 연쇄 법칙과 신경망의 층 쌓기가 모두 합성이다.

역함수 f⁻¹는 f가 한 일을 되돌린다. 서로 다른 입력이 같은 출력을 내지 않아야(일대일) 존재한다. y = 2x + 1을 x에 대해 풀면 x = (y − 1)/2이고, f⁻¹(f(3)) = f⁻¹(7) = 3이다. 역함수의 그래프는 x와 y를 바꾼 것이라 원래 그래프를 직선 y = x에 비춰 뒤집은 모양이다. y = x²은 x와 −x가 같은 값을 내므로 정의역을 x ≥ 0으로 줄여야 역함수 √x가 생긴다.

같은 이유로 √(x²)은 x가 아니라 |x|다. 제곱근 기호는 음이 아닌 쪽 근만 가리키기로 약속했기 때문이다. x = −3이면 x² = 9이고 √9 = 3 = |−3|이다. 방정식 x² = 9의 해를 x = ±3으로 둘 다 적는 것과 √9 = 3은 서로 다른 이야기다.

지수 법칙과 로그

aⁿ은 a를 n번 곱한 것이다. 이 정의에서 지수 법칙이 바로 나온다: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. 이 법칙이 계속 성립하도록 정의를 넓히면 a⁰ = 1(aⁿ / aⁿ), a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^1/n = ⁿ√a가 된다. 예컨대 8^2/3 = (³√8)² = 4다.

로그는 지수를 거꾸로 묻는다. log_b x = y는 bʸ = x라는 뜻, 곧 "b를 몇 번 곱해야 x가 되나"다. log₁₀ 1000 = 3이고 log₁₀ 2 ≈ 0.301이다. 지수 법칙을 뒤집으면 로그의 성질이 된다.

• log(xy) = log x + log y: 곱이 덧셈이 된다. 계산기 이전에는 이 성질로 큰 곱셈을 로그표와 덧셈으로 했다.
• log(xⁿ) = n log x: 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³인 것은 10 × 0.301 ≈ 3이기 때문이다.
• 밑 변환: log_b x = ln x / ln b. 계산기에 ln만 있어도 어떤 밑이든 구한다.
• 흔한 실수: 로그는 곱을 합으로 바꿀 뿐 합에는 그런 규칙이 없다. log₁₀(10 + 10) = log₁₀ 20 ≈ 1.301이지만 log₁₀ 10 + log₁₀ 10 = 2 = log₁₀ 100이다. log x / log y도 log(x/y)가 아니라 밑 변환의 log_y x이고, aᵐ + aⁿ은 aᵐ⁺ⁿ이 아니다(그건 곱 aᵐ · aⁿ이다).

복리는 지수 함수다. 1,000,000원을 연 5%로 10년 두면 매년 1.05배씩 불어 1,628,895원이 된다. 이자를 매달 붙이면 1,647,009원, 쪼개는 횟수를 끝없이 늘린 연속 복리는 원금 × e^0.5 = 1,648,721원로 수렴한다. 이 극한에서 나오는 수가 e ≈ 2.718이다. 두 배가 되는 햇수는 1.05ᵗ = 2를 로그로 풀어 t = ln 2 / ln 1.05 = 14.2년이다. 어림셈 "72의 법칙"은 72 / 5 = 14.4년을 준다.

반감기는 같은 원리의 감소판이다. 탄소-14의 반감기는 약 5,730년이라, 10,000년 뒤에는 0.5^10000/5730 = 29.8%가 남는다. 거꾸로 25%가 남은 시료는 로그로 풀어 11,460년(반감기 두 번)이 지났다고 추정한다. 몇 배로 변하는 양은 세로축을 로그 눈금으로 그리면 직선이 되어 비교가 쉽다. 지진 규모, 소리의 데시벨, pH가 모두 로그 눈금이다. 머신러닝의 엔트로피와 손실 함수도 로그로 정의한다(AI를 위한 수학의 정보 이론).

수열과 급수

등차수열은 같은 수 d를 계속 더한다. 일반항은 aₙ = a₁ + (n − 1)d이고, 합은 첫 항과 끝 항의 평균에 개수를 곱한 n(a₁ + aₙ)/2다. 1부터 100까지 더하면 (1 + 100)이 50쌍이라 5050이다. 등비수열은 같은 수 r을 계속 곱한다. aₙ = a₁rⁿ⁻¹이고, 합 Sₙ에서 rSₙ을 빼면 가운데 항이 모두 지워져 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)이 된다. 2 + 6 + 18 + 54 = 80다.

|r| < 1이면 rⁿ이 0으로 줄어들어 끝없이 더해도 합이 유한한 값 a₁/(1 − r)에 다가간다. 이것이 무한 등비급수다. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1이고, 0.999… = 0.9 + 0.09 + … = 0.9/(1 − 0.1) = 1이다. r = 2처럼 |r| ≥ 1이면 합이 끝없이 커져 발산한다. "다가간다"의 엄밀한 뜻은 극한이고, 미적분 노트에서 다룬다.

긴 합은 시그마 기호로 줄여 쓴다. Σ_k=1¹⁰ k²은 k = 1부터 10까지 k²을 더하라는 뜻이고, 직접 더한 값 385은 공식 n(n + 1)(2n + 1)/6 = 385과 같다. 이런 공식이 모든 n에서 맞는지는 수학적 귀납법으로 증명하고, 앞 항으로 다음 항을 정하는 점화식은 이산수학 노트에서 이어진다.

핵심 자료

도형과 삼각함수는 기하와 삼각함수, 이 내용이 실제로 쓰이는 모습은 AI를 위한 수학과 게임 개발 수학에 있다.